はじめに

皆さん，『超かぐや姫！』はご覧になりましたか？ まだ観ていない人は今すぐ観ましょう．

酒寄彩葉さんが満点を取っていた数学の試験，解いてみたいですよね？？？（圧） ということで，解答から逆算して問題を作ってみましょう．

注：本記事はネタ記事です（それはそう）．

大問 9

分かりやすいので，大問 9 から．解答は以下．

(1)① $x^2+x+C$

(1)② $\dfrac13x^3-\dfrac32x^2-5x+C$

(1)③ $t^4-2t^3+t^2-3t+C$

(2) $f(x)=x^3-\dfrac12x^2+1$

この問題はほぼ明らかです．(1) は不定積分をしろという問題に違いありません．解答を微分すればそのまま問題になります．

(1) 次の不定積分を求めよ．

① $2x+1$

② $x^2-3x-5$

③ $4t^3-6t^2+2t-3$

(2) も不定積分ではありそうですが，積分定数が確定しているのである 1 点での値が与えられているのが自然そうです．こんな感じでしょうか：

(2) $f'(x)=3x^2-x, f(2)=7$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ．

$f(2)$ というのはどこの値でも良いのですが，$f(0)$ だと少々芸がなさすぎるので $f(2)$ で．

大問 10

解答は以下．

(1) $x\leqq-3, 1\geqq x$ で増加し，$-3\leqq x\leqq 1$ で減少する．

(2) ① $x=-1$ で極小となり，極小値は $-5$．$x=\dfrac43$ で極大となり，極大値は $\dfrac{208}{27}$．

(1) ですが，多分 $1\geqq x$ は $1\leqq x$ の間違いでしょう… 酒寄さんの採点は先生も甘くなったのかもしれません．この間違いを仮定して話を進めると，両問は 3 次関数についての問題でしょう．数学 II の微積分の頻出テーマです．

(1) は関数が与えられてその増減を調べる問題でしょう．導関数が $a(x+3)(x-1)=a(x^2+2x-3)$ でかけることが分かるので，これを積分して $a\left(\dfrac13x^3+x^2-3x\right)+C$ となります．$a, C$ は任意にとれて，例えば

(1) 関数 $f(x)=x^3+3x^2-9x+4$ が増加・減少する区間をそれぞれ調べよ．

なんかが問題として成立します．

(2) は極大・極小を求める問題です．3 次関数の自由度は 4，そして情報が 4 つ与えられているので，本問は一意に定まるはずです．求める関数を $f(x)$ とおいて条件を整理すると，

$$\begin{cases} f'(-1)=0 \\ f(-1)=-5 \\ f'\left(\dfrac43\right)=0 \\ f\left(\dfrac43\right)=\dfrac{208}{27} \end{cases}$$

となります．前 2 つの条件から $f(x)=a(x+1)^3+b(x+1)^2-5$ とおくと楽できて，後半を代入して頑張ると $a=-2, b=7$ となります．つまりもとの関数は

$$f(x)=-2(x+1)^3+7(x+1)^2-5=-2x^3+x^2+8x$$

と求まりました！！ これにて問題文は

(2)① $f(x)=-2x^3+x^2+8x$ の極小値，極大値およびそのときの $x$ の値を求めよ．

であると分かりました．

大問 5

いきなり直線が出てきました．多分ある点から引いた接線な気がします．

(1) $y=5x-3$

(2) $y=-1, y=8x-9$

これだけでは関数は全く一意に決まらないのですが，例えば (2) は放物線の 2 本の接線だと思うことにすると，少しの実験でいい感じの関数が見付かって，$y=(x+1)^2-1$ に点 $(1, -1)$ から引いた 2 本の接線がまさにこれらになります．(1) は適当な 3 次関数をもってきたらこういう接線が 1 本だけ取れそうですが，考えるのが面倒になりました．

大問 8

(1) $x=0, 2$ で最大値 $0$，$x=-1$ で最大値 $-3$

(2) $5\,\mathrm{cm}$

わざわざ単位がついているので，動点 P 系の問題でしょう… ただ，(1) はどちらかの「最大値」が「最小値」の間違いだとしてもちょっと分からず，というのも 3 次関数なら必ず最大値と最小値は交互に取るはずです．

のこりの問題

わかりません！！！！ 情報量が少なすぎます

まとめ

酒寄彩葉さんはすごい．